重積分の基礎 - ELECTRIC💡陰キャ@高専生

重積分とは
2重積分の計算法

重積分とは

下のようにn変数関数をn個の変数でn回積分する。

$\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz$

Vは積分領域で、3重積分なので立体になっている。

2重積分の計算法

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$

今回は2重積分しか扱わない。

積分領域

積分領域はDで、平面になっている。

1変数関数の場合は直線上での積分なので $a\leqq x\leqq b$ で $\int_{a}^{b}f(x)dx$ のように計算出来たが、2変数関数では平面上での積分になるのでそれが出来ない。

$D=｛(x,y):x^2+y^2\leqq 1,0\leqq y\leqq\frac{1}{2}｝$ などのように書いておくしかない。

計算法

例題を通して計算法を説明しようと思う。

一番簡単なのは長方形で囲まれた領域での積分だ。

【1】

$\iint_{D}(x^2+y^2)dxdy$ ( $D$ ={ $(x,y):-1\leqq x \leqq1,-1\leqq y\leqq 1$ })

＜解答＞

与式= $\int_{-1}^{1}(\int_{-1}^{1}(x^2+y^2)dx)dy$

　　= $\int_{-1}^{1}$ [ $\frac{1}{3}x^3+xy^2$ ] $_{-1}^{1}dy$ (この段階ではyは定数として計算してよい)

　　= $\int_{-1}^{1}(\frac{2}{3}+2y^2)dy$

　　=[ $\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}y^3$ ] $_{-1}^{1}$

　　= $\frac{8}{3}$

しかし、積分領域は長方形であるとは限らない。

【2】

$\iint_{D}xydxdy$ ( $D$ ={ $(x,y):x^2+y^2\leqq x,y\geqq 0$ }

＜解答＞

積分領域Dについては, $x^2+y^2\leqq x,y\geqq 0$ を解くと、 $0\leqq x\leqq 1$ , $0\leqq y\leqq\sqrt{x-x^2}$ が得られる。

よって、

与式= $\int_{0}^{1}(\int_{0}^{\sqrt{x-x^2}}xydy)dx$

　　= $\int_{0}^{1}$ [ $\frac{1}{2}xy^2$ ] $_{0}^{\sqrt{x-x^2}}dx$

　　= $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^2-x^3)dx$

　　= $\frac{1}{2}$ [ $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4$ ] $_{0}^{1}$

　　= $\frac{1}{24}$

このように、積分領域が長方形でない場合は、

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$ = $\int_{a}^{b}(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy)dx$

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$ = $\int_{c}^{d}(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx)dy$

のように変形すれば計算できる。

変数変換

積分領域Dや被積分関数の形によっては、被積分関数 $f(x,y)$ を $x=g_1(u,v)$ , $y=g_2(u,v)$ とおいて、 $f(x,y)=f(g_1(u,v),g_2(u,v))=h(u,v)$ に置き換えて $u,v$ で積分した方が計算しやすい場合がある。

$x,y$ で積分するときは $dxdy$ を足し合わせていたのだが、 $u,v$ で積分するときには $dudv$ を足し合わせる。しかし、 $dxdy$ と $dudv$ では大きさの比率が異なる。

これを解決するため、変数変換するときには

ヤコビアン $J(u,v)=\begin{vmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{u}} \frac{\partial{x}}{\partial{v}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{vmatrix}$ を用いて $dxdy=|J(u,v)|dudv$ と変数変換する。

$|J(u,v)|$ は $\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{pmatrix}$ の2つのベクトルが成す平行四辺形の面積になっている。2次元極座標 $(r,θ)$ のような形についても、微小区間で見れば平行四辺形に近似できる。ヤコビアンの計算には偏微分が使われているので、微小区間として見てよい。