ベクトルの線積分 - ELECTRIC💡陰キャ@高専生

仕事(物理量)
- 物体が直線に沿って運動した場合の一定の力Fがした仕事
- 力が変化したり曲線上を運動する場合
線積分の計算法
- 手順1:積分経路Cをパラメータ表示(媒介変数表示)で表す
- 手順2:置換積分で計算する。
問題の解答

仕事(物理量)

物体が直線に沿って運動した場合の一定の力Fがした仕事

図1.1のように物体に一定の力Fが加わり、物体が一直線上にxだけ移動した場合、この力がした仕事の大きさはW=Fxcosθである。

実は、仕事はベクトルの内積になっている。xは変位ベクトル $\vec{r}$ の大きさ、Fは力ベクトル $\vec{F}$ の大きさとすると、 $\vec{F}\cdot\vec{r}$ は、 $\vec{F}$ が $\vec{r}$ の向きにした仕事Wを表していることが分かる。すなわち $W=\vec{F}\cdot\vec{r}$ であることが分かる。

【1】一定の力 $\vec{F}=(2,3,4)$ を受けながら物体が直交座標系の点A(1,-1,0)から点B(3,2,4)へ移動した。 $\vec{F}$ がした仕事を求めよ。ただし、長さの単位をm,力の単位をNである。(【】の解説・解答は一番最後に書いてある。)

力が変化したり曲線上を運動する場合

微小な位置変化ごとの仕事に細かく分割し、それらを全て連続的に足す必要がある。(積分)

図1.2では、青い→が物体がその位置にあるときに働いた力 $\vec{f}$ を表し、緑の→が微小な位置変化 $d\vec{r}$ を表す。それぞれの場所でした仕事 $dW=\vec{f}\cdot d\vec{r}$ を全て足し合わせた合計が全体での仕事Wになる。

$W=\int_{C}{\vec{f}}{\cdot}{d\vec{r}}$ が結果だが、このままでは計算できない。これの計算法が本題「ベクトルの線積分の計算法」になる。

線積分の計算法

$\vec{f}$ は位置 $\vec{r}$ によって決まるので、 $\vec{f}=\vec{f}(\vec{r})$ と表せる。

位置 $\vec{r}$ は座標 $(x,y,z)$ なので、 $\vec{r}=(x,y,z)$ と表せ、 $\vec{f}(\vec{r})$ も座標 $(x,y,z)$ の関数 $\vec{f}(x,y,z)=(f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z))$ と表せる。

手順1:積分経路Cをパラメータ表示(媒介変数表示)で表す

図1.2の曲線Cを積分経路と言う。この経路は $(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))$ のようにパラメータ $t$ を用いて表すことが出来るため、 $\vec{r}$ をこの経路Cを表すように指定することができる。

この操作を行うと、 $\vec{r}=\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(a \leqq t \leqq b)$ のようになる。

手順2:置換積分で計算する。

位置 $\vec{r}=(x(t),y(t),z(t))$ が定まったため、位置によって決まる力 $\vec{f}(\vec{r})$ も定まる。 $\vec{f}(\vec{r})=\vec{f}(x,y,z)$ に $\vec{r}=(x(t),y(t),z(t))$ を代入すれば、 $\vec{f}$ も $t$ の関数として表すことができ、置換積分で計算することができる。

$\int_{C}\vec{f}(\vec{r})\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\frac{d\vec{r}(t)}{dt}dt$

内積はスカラーになるため、これはただ $t$ で積分するだけで計算できる。

【2】平面内を運動する質点に働く力 $\vec{f}$ が $\vec{f}(x,y)=(axy,by^2)$ で与えられるとき、次の問に答えなさい。

(1) $x$ 軸上の点A $(r,0)$ から $y$ 軸上の点C $(0,r)$ まで、半径 $r$ の円周に沿って動く場合の $\vec{f}$ のする仕事を求めよ。

(2) $x$ 軸上の点A $(r,0)$ から $y$ 軸上の点C $(0,r)$ まで、線分ACに沿って動く場合の $\vec{f}$ のする仕事を求めよ。

問題の解答

【1】変位 $\Delta\vec{r}=\vec{AB}=(3,2,4)-(1,-1,0)=(2,3,4)$ ,力 $\vec{F}=(2,3,4)$ なので、

仕事 $\Delta W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}=2\cdot 2 +3\cdot 3 +4\cdot 4=29$ [J]

【2】

(1)

この経路は $C_1:\vec{r}=(r\cos t,r\sin t)$ $(0\leqq t\leqq\frac{π}{2})$ と表せる。

$\vec{f}=(axy,by^2)$ に $x=r\cos t,r\sin t$ を代入すると、 $\vec{f}=(ar^2\cos t\sin t,br^2\sin^2 t)$ となる。

よって、

$W=\int_{C_1}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\frac{π}{2}}\vec{f}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}dt\\=\int_{0}^{\frac{π}{2}}(ar^2\cos t\sin t,br^2\sin^2 t)\cdot(-r\sin t,r\cos t)dt\\=(b-a)r^3\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^2 t\cos t dt=\frac{b-a}{3}r^3$