今年度の成績

創造工学実験:88点(平均81)

電気回路:94点(平均64)

プログラミング:95点(平均81)

電気電子演習Ⅱ:88点(平均68)

電気電子演習Ⅲ:98点(平均85)

デジタル回路Ⅰ:96点(平均73)

デジタル回路Ⅱ:100点(平均77)

化学Ⅱ:96点(平均72)

物理Ⅱ:98点(平均82)

微分積分Ⅰa:100点(平均73)

微分積分Ⅰb:100点(平均76)

線形代数:100点(平均75)

英語Ⅱ:95点(平均79)

英語表現Ⅱ:97点(平均76)

国語Ⅱ:90点(平均76)

倫理:89点(平均69)

保健体育Ⅱ:81点(平均83)

テストで1位を取った方法

まず、最初に断っておくけど、成績はテストだけでは決まらない。

レポートや課題も、成績のうちのかなりの割合を占めるのは事実。

しかし、俺は評価の高いレポートを書く方法なんて知らない。

俺から教えられるとすれば、テストの点数を上げる方法だ。

俺は以下の方法で、1年間で100点の答案を15枚生産した。

数学は先取りで勉強

高専みたいな工業・工学系の分野、特に電気系は、数学を基礎としている。

数学を先取りしておけば、数学系の教科だけでなく、専門科目も理解しやすくなる。

俺は2学年分先まで数学を予習してあるから、数学の授業や定期試験の勉強は復習になっている。

そのため、今年受けた数学のテストは8回中7回100点だった。(1回は後期末の線形代数97点)

さらに、数学の予習は計算力を鍛えるトレーニングになる。

何年分も予習するとなると、量が膨大なので、毎日計算することになるからだ。

そのため、計算量の非常に多い電気回路のテストでは、平均点を大幅に上回ることが出来た。

テスト勉強は早く始める

俺は念のため、テスト勉強を1か月前から始める。

習ったことの積み重ねのような教科もあるから、昔習ったことを忘れていたら、そこから勉強し直さないとならない。1か月あれば、そういうところからやり直すことが出来る。

また、覚えることが膨大な教科もある。

暗記は、インプット(教科書・レジュメを読む)とアウトプット(問題を解いて思い出す)を繰り返すことで、暗記できている割合が増えていく。

テストに出ることの90％以上を覚えるには、個人の暗記の才能にもよるが、俺の場合はインプットとアウトプットを3セット以上繰り返す必要があった。

教科書や問題集には、解いておくべき問題がたくさん載っている。

これらを解けるようにするために、2周以上は解きたいものだ。

2周以上解くためにも、1か月のテスト勉強の期間を設けておきたい。

１位取れるかは運次第

1位を取るには、自分より高得点の人がいない必要がある。完全に他人次第。

全部100点なら絶対1位だろうけど、そんなの無理に決まってる。

ただ、これくらいやれば、かなり上位になるはずだ。

2022-10-16

微分方程式③同次形

同次形

同次形 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

この形の微分方程式は、 $u=\frac{y}{x}$ と置くことで、変数分離形に変形できる。

① $u=\frac{y}{x}$ と置く

② $y=xu$ と変形する

③両辺を $x$ で微分して $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ にする

④ $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$ に $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ と $u=\frac{y}{x}$ を代入する

この操作を加えることにより、 $u+x\frac{du}{dx}=f(u)$ となる。

これを変形すると、 $\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$ となり、 $\frac{1}{f(u)-u}du=\frac{1}{x}dx$ として解くことが出来る。

両辺を不定積分して $\int\frac{1}{f(u)-u}du=\int\frac{1}{x}dx$ が得られ、ここから $y=xu$ や $u=\frac{y}{x}$ の関係を用いて解が求まる。

【例題1】微分方程式 $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}$ を解け。

　[解]右辺の分母分子を $x$ で割れば $\frac{x-y}{x+y}=\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$ になる。(約分)

　　　 $u=\frac{y}{x}$ と置くと、 $y=xu$ より $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ となり、

　　この微分方程式は $u+x\frac{du}{dx}=\frac{1-u}{1+u}$ に変形できる。

　　ここから、 $x\frac{du}{dx}=\frac{1-2u-u^2}{1+u}$

　　　 $\frac{u+1}{u^2+2u-1}dy=-\frac{1}{x}dx$

　　　 $\int\frac{\frac{1}{2}(2u+2)}{u^2+2u-1}du=-\int\frac{1}{x}dx$

　　　 $\frac{1}{2}\log|u^2+2u-1|=-\log|x|+c$

　　　移項して $\frac{1}{2}\log|u^2+2u-1|+log|x|=c$

　　　両辺を2倍して $\log|u^2+2u-1|+2\log|x|=2c$

　　　 $\log|x^2(u^2+2u-1)|=2c$

　　　 $x^2(u^2+2u-1)=\pm e^{2c}$

　　　 $\pm e^{2c}$ は任意定数なので、これを $C$ と置けば $x^2(u^2+2u-1)=C$

　　　 $u=\frac{y}{x}$ より、 $x^2(\frac{y^2}{x^2}+2\frac{y}{x}-1)=C$

　　　 $y^2+2xy-x^2=C$

次の記事では一般的な1階線形微分方程式の解き方について書きます。

2022-10-09

微分方程式② 変数分離型

変数分離型

変数分離型 $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$

この形は $\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$ と変形できる。

この両辺を $x$ で積分すると、

左辺は置換積分で、 $\int{\frac{1}{g(y)}}\frac{dy}{dx}dx=\int\frac{1}{g(y)}dy$ と変形できる。

右辺は $\int{f(x)dx}$ になる。

よって、この微分方程式の解は $\int\frac{1}{g(y)}dy=\int{f(x)}dx$ である。

これは $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$ を形式的に $\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$ と変形して両辺に $\int$ をつけた結果と同じである。

【例題1】 $\frac{dy}{dx}=2xy$ を満たす関数 $y$ を求めよ。

　[解答] $\frac{1}{y}dy=2xdx$ と変形出来る。

　　　両辺に $\int$ をつけて $\int\frac{1}{y}dy=\int{2xdx}$ にして不定積分すると、

　　　 $\log|y|+C_2=x^2+C_1$ となり $\log|y|=x^2+(C_1-C_2)$ と変形できる。

　　　 $C_1-C_2$ は任意の定数なので、これを $c=C_1-C_2$ と置くと、 $log|y|=x^2+c$

　　　これを変形すると、 $y=\pm e^{x^2+c}=\pm e^c e^{x^2}$ となる。

　　　 $\pm e^c$ はただの任意定数なので、これを $C=\pm e^c$ と置けば、 $y=Ce^{x^2}$

次の記事「微分方程式③」では同次型について書きます。

2022-10-09

微分方程式①

今回は、ただ不定積分するだけで解が求められる微分方程式を紹介する。次の記事からは、少し工夫が必要なものを紹介する。

1階:
2階:

1階: $\frac{dy}{dx}=f(x)$

微分して $f(x)$ になる関数 $y$ を見つけることが目的なので、このタイプはただ両辺を不定積分すればいい。解は $y=\int{f(x)dx}$ になる。不定積分なので積分定数が出てくる。

【例題1】 $\frac{dy}{dx}=4x$ を満たす $y$ を求めなさい。

　[解答]両辺を積分して $y=\int{4x}dx$

　　　よって、 $y=2x^2+C$ (Cは定数)

定数Cが1であってもπであってもeであっても、【例題1】の微分方程式を満たす。

定数Cの値によって、この微分方程式の解は無数にある。

2階: $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)$

2回微分して $f(x)$ になる関数 $y$ を探すため、両辺を2回不定積分する。

解は $y=\int{(\int{f(x)}dx)}dx$ になる。これも不定積分なので、積分定数が出てくる。

積分定数は2つ出てくる。

【例題2】 $\frac{d^2y}{dx^2}=6x$ を満たす関数 $y$ を求めなさい。

　[解答]両辺を積分すると、 $\frac{dy}{dx}=\int{6x}dx=3x^2+C_1$

　　　もう一度両辺を積分すると、 $y=\int{(3x^2+C_1)dx}=x^3+C_1x+C_2$

次の記事「微分方程式②」では、変数分離型を紹介します。

2022-09-06

重積分の基礎

重積分とは
2重積分の計算法

重積分とは

下のようにn変数関数をn個の変数でn回積分する。

$\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz$

Vは積分領域で、3重積分なので立体になっている。

2重積分の計算法

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$

今回は2重積分しか扱わない。

積分領域

積分領域はDで、平面になっている。

1変数関数の場合は直線上での積分なので $a\leqq x\leqq b$ で $\int_{a}^{b}f(x)dx$ のように計算出来たが、2変数関数では平面上での積分になるのでそれが出来ない。

$D=｛(x,y):x^2+y^2\leqq 1,0\leqq y\leqq\frac{1}{2}｝$ などのように書いておくしかない。

計算法

例題を通して計算法を説明しようと思う。

一番簡単なのは長方形で囲まれた領域での積分だ。

【1】

$\iint_{D}(x^2+y^2)dxdy$ ( $D$ ={ $(x,y):-1\leqq x \leqq1,-1\leqq y\leqq 1$ })

＜解答＞

与式= $\int_{-1}^{1}(\int_{-1}^{1}(x^2+y^2)dx)dy$

　　= $\int_{-1}^{1}$ [ $\frac{1}{3}x^3+xy^2$ ] $_{-1}^{1}dy$ (この段階ではyは定数として計算してよい)

　　= $\int_{-1}^{1}(\frac{2}{3}+2y^2)dy$

　　=[ $\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}y^3$ ] $_{-1}^{1}$

　　= $\frac{8}{3}$

しかし、積分領域は長方形であるとは限らない。

【2】

$\iint_{D}xydxdy$ ( $D$ ={ $(x,y):x^2+y^2\leqq x,y\geqq 0$ }

＜解答＞

積分領域Dについては, $x^2+y^2\leqq x,y\geqq 0$ を解くと、 $0\leqq x\leqq 1$ , $0\leqq y\leqq\sqrt{x-x^2}$ が得られる。

よって、

与式= $\int_{0}^{1}(\int_{0}^{\sqrt{x-x^2}}xydy)dx$

　　= $\int_{0}^{1}$ [ $\frac{1}{2}xy^2$ ] $_{0}^{\sqrt{x-x^2}}dx$

　　= $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^2-x^3)dx$

　　= $\frac{1}{2}$ [ $\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4$ ] $_{0}^{1}$

　　= $\frac{1}{24}$

このように、積分領域が長方形でない場合は、

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$ = $\int_{a}^{b}(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy)dx$

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$ = $\int_{c}^{d}(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx)dy$

のように変形すれば計算できる。

変数変換

積分領域Dや被積分関数の形によっては、被積分関数 $f(x,y)$ を $x=g_1(u,v)$ , $y=g_2(u,v)$ とおいて、 $f(x,y)=f(g_1(u,v),g_2(u,v))=h(u,v)$ に置き換えて $u,v$ で積分した方が計算しやすい場合がある。

$x,y$ で積分するときは $dxdy$ を足し合わせていたのだが、 $u,v$ で積分するときには $dudv$ を足し合わせる。しかし、 $dxdy$ と $dudv$ では大きさの比率が異なる。

これを解決するため、変数変換するときには

ヤコビアン $J(u,v)=\begin{vmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{u}} \frac{\partial{x}}{\partial{v}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{vmatrix}$ を用いて $dxdy=|J(u,v)|dudv$ と変数変換する。

$|J(u,v)|$ は $\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{pmatrix}$ の2つのベクトルが成す平行四辺形の面積になっている。2次元極座標 $(r,θ)$ のような形についても、微小区間で見れば平行四辺形に近似できる。ヤコビアンの計算には偏微分が使われているので、微小区間として見てよい。

$dxdy$ と $dudv$ の比率は場所によって変わるが、 $J(u,v)$ は $u,v$ の関数であるためカバーできる。

【3】

$\iint_{D}\cos(x+y)\sin(x-y)dxdy$

( $D$ ={ $(x,y):0\leqq x+y\leqq\frac{π}{2},0\leqq x-y\leqq\frac{π}{2}$ })

＜解答＞

$u=x+y,v=x-y$ と置くと、 $u+v=2x,u-v=2y$ なので、 $x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}$ と表せる。

$J(u,v)$ = $\begin{vmatrix}\frac{1}{2}　\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}　-\frac{1}{2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}$

積分領域は $0\leqq u\leqq\frac{π}{2}$ , $0\leqq v\leqq\frac{π}{2}$ になる。

与式= $\int_{0}^{\frac{π}{2}}\int_{0}^{\frac{π}{2}}\cos{u}\sin{v}|J(u,v)|dudv$

　　= $\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{π}{2}}(\int_{0}^{\frac{π}{2}}\cos{u}\sin{v}du)dv$

　　= $\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ [ $\sin{u}\sin{v}$ ] $_{0}^{\frac{π}{2}}dv$

　　= $\frac{1}{2}\int_{0}{\frac{π}{2}}\sin{v}dv$

　　= $\frac{1}{2}$ [ $-\cos{v}$ ] $_{0}^{\frac{π}{2}}$

　　= $\frac{1}{2}$

【4】

$2\iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy$ ( $D$ ={ $(x,y):x^2+y^2\leqq a^2$ })

＜解答＞

2次元極座標 $(r,θ)$ に変換する。

$x=r\cos{θ},y=r\sin{θ}$ より、 $J(r,θ)=\begin{vmatrix}\cos{θ}　-r\sin{θ}\\ \sin{θ}　r\cos{θ}\end{vmatrix}=r$

したがって、面積素の面積は $rdrdθ$ である。

積分領域は図より $0\leqq r\leqq a$ , $0\leqq θ \leqq\frac{π}{2}$ である。

よって

与式= $2\int_{0}^{2π}\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-r^2}\cdot rdrdθ$

　　= $4π\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-r^2}\cdot rdrdθ$

ここで、 $t=\sqrt{a^2-r^2}$ と置くと、 $t^2=a^2-r^2$ より $dr=-\frac{t}{r}dt$ が得られる。

また、 $r=0$ のとき $t=a$ , $r=a$ のとき $t=0$ である。

よって

与式= $4π\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-r^2}\cdot rdrdθ$

　　= $4π\int_{a}^{0}t\cdot r\cdot -\frac{t}{r}dt$

　　= $4π\int_{0}^{a}t^2dt$

　　= $4π$ [ $\frac{1}{3}t^3$ ] $_{0}^{a}$

　　= $\frac{4πa^3}{3}$

2022-08-31

ラプラス変換

ラプラス変換
逆ラプラス変換
- [1]留数定理を使った計算法
- [2]部分分数分解を使った計算法

ラプラス変換

$F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

この広義積分(定積分)を計算する際に、 $t→\infty$ と $t=0$ が代入されるので $t$ は消えて、ラプラス変換は $s$ の関数になる。

もとの関数 $f(t)$ に $e^{-st}$ をかけることによって、 $f(t)e^{-st}$ を収束させて、 $f(t)e^{-st}$ と $x$ 軸に囲まれた部分の面積を計算している。

$f(t)e^{-st}$ において、

① $Re(s)$ : $f(t)e^{-st}$ の大きさに影響

　⇒ $a＜Re(s)＜b$ という条件の元でラプラス変換できる。

② $Im(s)$ : $f(t)e^{-st}$ を振動させる( $e^{iθ}=\cos{θ}+i\sin{θ}$ だから)

$f(t)$ を原関数、 $F(s)$ を像関数と呼ぶ。

積分区間が $0 \leqq t \leqq \infty$ なのは、工学の世界では原因の前に結果が起こる(例:入力信号が入る前に出力信号が出る)ということはあまりないので、時間 $t ＜ 0$ の部分を考えなくて良いからである。

逆ラプラス変換

$f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\frac{1}{2πi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$

これは逆ラプラス変換の定義で、像関数F(s)から原関数f(t)を求める式である。この複素積分を計算する方法を2つ紹介する。

[1]留数定理を使った計算法

①極

　 $g(s)$ において

　<例1> $g(s)=\frac{1}{6(s-a)^{3}(s-b)^{5}}$ なら、s=aは3位の極、s=bは5位の極

　<例2> $g(s)=\frac{e^{2s}}{2(s-c)^{4}(s-d)}$ なら、s=cは4位の極、s=dは1位の極

②留数

　留数:ローラン展開における $-1$ 次の項の係数

　 $g(s)$ において、 $s=a$ がm位の極のとき、

　留数 $Res_{s=a}g(s)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{s→a}\frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}}｛(s-a)^{m}g(s)｝$

③留数定理

　周回積分は積分経路内の留数の和に $2πi$ をかけて計算できる。

図2.1のような積分経路なら、 $\oint_{C}g(s)ds=2πi(Res_{s=a_1}g(s)+Res_{s=a_2}g(s)+Res_{s=a_3}g(s))$

③ジョルダンの補助定理

上の図の積分経路において、 $\int_{C_1}g(s)ds=\oint_{C_2}g(s)ds$ が成り立つ。証明略

④留数定理とジョルダンの補助定理で計算

積分経路 $C_2$ に内側に極があれば②の留数定理を使うことが出来る。ここで $C_2$ の半径は∞なので、全ての極が $C_2$ の中にある。

よって、

$f(t)=\frac{1}{2πi}\int_{C_1}F(s)e^{st}ds=\frac{1}{2πi}\int_{C_2}F(s)e^{st}ds\\=\frac{1}{2πi}2πi(Res_{s=a_1}F(s)e^{st}+Res_{s=a_2}F(s)e^{st}+・・・)\\=Res_{s=a_1}F(s)e^{st}+Res_{s=a_2}F(s)e^{st}+・・・$

したがって、逆ラプラス変換は下のような留数の和として計算できる。

$f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\sum_{n}Res_{s=a_n}F(s)e^{st}$

[2]部分分数分解を使った計算法

微分や積分の公式を覚えたときのように、原関数と像関数のセットを暗記して計算する方法。

$\mathcal{L}(af_1(t)+bf_2(t))=a\mathcal{L}(f_1(t))+b\mathcal{L}(f_2(t))$

$\mathcal{L}^{-1}(aF_1(s)+bF_2(s))=a\mathcal{L}^{-1}(F_1(s))+b\mathcal{L}^{-1}(F_2(s))$

このように線形性があるため、以下のようなものを覚えていれば計算できる。

この方法でのラプラス変換/ラプラス逆変換には、テクニックや覚え方、簡単に公式を導出する方法、コツなどがあるので、後に別の記事で説明する予定。

2022-08-25

ベクトルの線積分

仕事(物理量)
- 物体が直線に沿って運動した場合の一定の力Fがした仕事
- 力が変化したり曲線上を運動する場合
線積分の計算法
- 手順1:積分経路Cをパラメータ表示(媒介変数表示)で表す
- 手順2:置換積分で計算する。
問題の解答

仕事(物理量)

物体が直線に沿って運動した場合の一定の力Fがした仕事

図1.1のように物体に一定の力Fが加わり、物体が一直線上にxだけ移動した場合、この力がした仕事の大きさはW=Fxcosθである。

実は、仕事はベクトルの内積になっている。xは変位ベクトル $\vec{r}$ の大きさ、Fは力ベクトル $\vec{F}$ の大きさとすると、 $\vec{F}\cdot\vec{r}$ は、 $\vec{F}$ が $\vec{r}$ の向きにした仕事Wを表していることが分かる。すなわち $W=\vec{F}\cdot\vec{r}$ であることが分かる。

【1】一定の力 $\vec{F}=(2,3,4)$ を受けながら物体が直交座標系の点A(1,-1,0)から点B(3,2,4)へ移動した。 $\vec{F}$ がした仕事を求めよ。ただし、長さの単位をm,力の単位をNである。(【】の解説・解答は一番最後に書いてある。)

力が変化したり曲線上を運動する場合

微小な位置変化ごとの仕事に細かく分割し、それらを全て連続的に足す必要がある。(積分)

図1.2では、青い→が物体がその位置にあるときに働いた力 $\vec{f}$ を表し、緑の→が微小な位置変化 $d\vec{r}$ を表す。それぞれの場所でした仕事 $dW=\vec{f}\cdot d\vec{r}$ を全て足し合わせた合計が全体での仕事Wになる。

$W=\int_{C}{\vec{f}}{\cdot}{d\vec{r}}$ が結果だが、このままでは計算できない。これの計算法が本題「ベクトルの線積分の計算法」になる。

線積分の計算法

$\vec{f}$ は位置 $\vec{r}$ によって決まるので、 $\vec{f}=\vec{f}(\vec{r})$ と表せる。

位置 $\vec{r}$ は座標 $(x,y,z)$ なので、 $\vec{r}=(x,y,z)$ と表せ、 $\vec{f}(\vec{r})$ も座標 $(x,y,z)$ の関数 $\vec{f}(x,y,z)=(f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z))$ と表せる。

手順1:積分経路Cをパラメータ表示(媒介変数表示)で表す

図1.2の曲線Cを積分経路と言う。この経路は $(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))$ のようにパラメータ $t$ を用いて表すことが出来るため、 $\vec{r}$ をこの経路Cを表すように指定することができる。

この操作を行うと、 $\vec{r}=\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(a \leqq t \leqq b)$ のようになる。

手順2:置換積分で計算する。

位置 $\vec{r}=(x(t),y(t),z(t))$ が定まったため、位置によって決まる力 $\vec{f}(\vec{r})$ も定まる。 $\vec{f}(\vec{r})=\vec{f}(x,y,z)$ に $\vec{r}=(x(t),y(t),z(t))$ を代入すれば、 $\vec{f}$ も $t$ の関数として表すことができ、置換積分で計算することができる。

$\int_{C}\vec{f}(\vec{r})\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\frac{d\vec{r}(t)}{dt}dt$

内積はスカラーになるため、これはただ $t$ で積分するだけで計算できる。

【2】平面内を運動する質点に働く力 $\vec{f}$ が $\vec{f}(x,y)=(axy,by^2)$ で与えられるとき、次の問に答えなさい。

(1) $x$ 軸上の点A $(r,0)$ から $y$ 軸上の点C $(0,r)$ まで、半径 $r$ の円周に沿って動く場合の $\vec{f}$ のする仕事を求めよ。

(2) $x$ 軸上の点A $(r,0)$ から $y$ 軸上の点C $(0,r)$ まで、線分ACに沿って動く場合の $\vec{f}$ のする仕事を求めよ。

問題の解答

【1】変位 $\Delta\vec{r}=\vec{AB}=(3,2,4)-(1,-1,0)=(2,3,4)$ ,力 $\vec{F}=(2,3,4)$ なので、

仕事 $\Delta W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}=2\cdot 2 +3\cdot 3 +4\cdot 4=29$ [J]

【2】

(1)

この経路は $C_1:\vec{r}=(r\cos t,r\sin t)$ $(0\leqq t\leqq\frac{π}{2})$ と表せる。

$\vec{f}=(axy,by^2)$ に $x=r\cos t,r\sin t$ を代入すると、 $\vec{f}=(ar^2\cos t\sin t,br^2\sin^2 t)$ となる。

よって、

$W=\int_{C_1}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\frac{π}{2}}\vec{f}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}dt\\=\int_{0}^{\frac{π}{2}}(ar^2\cos t\sin t,br^2\sin^2 t)\cdot(-r\sin t,r\cos t)dt\\=(b-a)r^3\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^2 t\cos t dt=\frac{b-a}{3}r^3$

(2)

この経路は $C_2:\vec{r}=(r-t,t)$ $(0\leqq t\leqq r)$ と表せる。

$\vec{f}=(axy,by^2)$ に代入すると、 $\vec{f}=(a(r-t)t,bt^2)$ と表せる。

よって、

$W=\int_{C_2}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{r}\vec{f}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}dt\\=\int_{0}^{r}((a+b)t^2-art)dt=\frac{2b-a}{6}r^3$

ELECTRIC💡陰キャ@高専生

電気系の高専生が書いています。迷走しています。

【首席】高専で成績学科1位を取った方法

今年度の成績

テストで1位を取った方法

数学は先取りで勉強

テスト勉強は早く始める

１位取れるかは運次第

微分方程式③同次形

同次形 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

微分方程式② 変数分離型

変数分離型 $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$

微分方程式①

1階: $\frac{dy}{dx}=f(x)$

2階: $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)$

重積分の基礎

重積分とは

2重積分の計算法

積分領域

計算法

変数変換

ラプラス変換

ラプラス変換

逆ラプラス変換

[1]留数定理を使った計算法

[2]部分分数分解を使った計算法

ベクトルの線積分

仕事(物理量)

物体が直線に沿って運動した場合の一定の力Fがした仕事

力が変化したり曲線上を運動する場合

線積分の計算法

手順1:積分経路Cをパラメータ表示(媒介変数表示)で表す

手順2:置換積分で計算する。

問題の解答